入职仅半个月未签署劳动合同和购买工伤保险，

您可以要求单位申请工伤认定，或自行申请。依据《工伤保险条例》，未签劳动合同但存在事实劳动关系，员工受伤仍可享受工伤待遇。不及时处理可能导致无法获得医疗救治和经济补偿，影响权益。
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常见处理方式为要求单位申请工伤认定，或自行向社保部门申请。选择时，若单位配合则由其申请，否则需自行准备材料申请，确保权益不受损。
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应申请工伤认定。操作如下：1.首先尝试与单位沟通，要求其为你申请工伤认定；2.若单位不配合，你需在规定期限内自行向社会保险行政部门提交工伤认定申请表、劳动关系证明等材料；3.等待工伤认定结果，根据结果享受相应的工伤待遇，包括医疗费用报销和停工留薪等。